第三百五十章 搞定毕业论文

    350章

    另一边，华国。

    经过一夜的思考，困惑程诺终于对自己的毕业论文有了新的思路。

    关于两个引理的运用，程诺有他自己独到的见解。

    所以，这天白天的课一结束，程诺便匆匆赶到图书馆，随便挑了一个没人的位置，拿出纸笔，验证自己的想法。

    既然将两个引理强加进Bertrand假设的证明过程中这个方向行不通，那程诺想的是，能否根据这两个引理，得出几个推论，然后再应用到Bertrand假设中。

    这样的话，虽然拐了个弯，看似比切比雪夫的方法还要麻烦不少。但在真正的结果出来之前，谁也不敢百分百就这样说。

    程诺觉得还是应该尝试一下。

    工具早已备好，他沉吟了一阵，开始在草稿纸上做各种尝试。

    他有不是上帝，并不能很明确的知晓通过引理得出来的推论究竟哪个有用，哪个没用。最稳妥的方法，就是一一尝试。

    反正时间足够，程诺并不着急。

    唰唰唰~~

    低着头，他列下一行行算式。

    【设m为满足pm≤2n的最大自然数，则显然对于i>m，floor(2n/pi)-2floor(n/pi)=0-0=0，求和止于i=m，共计m项。由于floor(2x)-2floor(x)≤1，因此这m项中的每一项不是0就是1……】

    由上，得推论1：【设n为一自然数，p为一素数，则能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高幂次为：s=Σi≥1[floor(2n/pi)-2floor(n/pi)]。】

    【因为n≥3及2n/32n，求和只有i=1一项，即：s=floor(2n/p)-2floor(n/p)。由于2n/3
    由此，得推论2：【设n≥3为一自然数，p为一素数，s为能整除(2n)!/(n!n!)的p的最高幂次，则：(a)ps≤2n；(b)若p>√2n，则s≤1；(c)若2n/3
    一行行，一列列。

    除了上课，程诺一整天都泡在图书馆里。

    等到晚上十点闭馆的时候，程诺才背着书包依依不舍的离开。

    而在他手中拿着的草稿纸上，已经密密麻麻的列着十几个推论。

    这是他劳动一天的成果。

    明天程诺的工作，就是从这十几个推论中，寻找出对Bertrand假设证明工作有用的推论。

    …………

    一夜无话。

    翌日，又是阳光明媚，春暖花开的一天。

    日期是三月初，方教授给程诺的一个月假期还剩十多天的时间。

    程诺又足够的时间去浪……哦，不，是去完善他的毕业论文。

    论文的进度按照程诺规划的方案进行，这一天，他从推导出的十几个推论中寻找出证明Bertrand假设有重要作用的五个推论。

    结束了这忙碌的一天，第二天，程诺便马不停蹄的开始正式Bertrand假设的证明。

    这可不是个轻松的工作。

    程诺没有多大把握能一天的时间搞定。

    可一句古话说的好，一鼓作气，再而衰，三而竭。如今势头正足，最好一天拿下。

    这个时候，程诺不得不再次准备开启修仙大法。

    而修仙神器，“肾宝”，程诺也早已准备完毕。

    肝吧，少年！

    程诺右手碳素笔，左手肾宝，开始攻克最后一道难关。

    切尔雪夫在证明Bertrand假设时，采取的方案是直接进行已知定理进行硬性推导，丝毫没有任何技巧性可言。

    程诺当然不能这么做。

    对于Bertrand假设，他准备使用反证法。

    这是除了直接推导证明法之外最常用的证明方法，面对许多猜想时非常重要。

    尤其是……在证明某个猜想不成立时！

    但程诺现在当时不是要寻找反例，证明Bertrand假设不成立。

    切尔雪夫已然证明这一假设的成立，使用反证法，无非是将证明步骤进行简化。

    程诺自信满满。

    第一步，用反证法，假设命题不成立，即存在某个n≥2，在n与2n之间没有素数。

    第二步，将(2n)!/(n!n!)的分解(2n)!/(n!n!)=Πps(p)(s(p)为质因子p的幂次。

    第三步，由推论5知p<2n，由反证法假设知p≤n，再由推论3知p≤2n/3，因此(2n)!/(n!n!)=Πp≤2n/3ps(p)。

    ………………

    第七步，利用推论8可得：(2n)!/(n!n!)≤Πp≤√2nps(p)·Π√2n
    思路畅通，程诺一路写下来，不见任何阻力，一个小时左右便完成一半多的证明步骤。

    连程诺本人，都惊讶了好一阵。

    原来我现在，不知不觉间已经这么厉害了啊！！！

    程诺叉腰得意一会儿。

    随后，便是低头继续苦逼的列着证明公式。

    第八步，由于乘积中的第一组的被乘因子数目为√2n以内的素数数目，即不多于√2n/2-1(因偶数及1不是素数)……由此得到：(2n)!/(n!n!)<(2n)√2n/2-1·42n/3。

    第九步，(2n)!/(n!n!)是(1 1)2n展开式中最大的一项，而该展开式共有2n项(我们将首末两项1合并为2)，因此(2n)!/(n!n!)≥22n/2n=4n/2n。两端取对数并进一步化简可得：√2nln4<3ln(2n)。

    下面，就是最后一步。

    由于幂函数√2n随n的增长速度远快于对数函数ln(2n)，因此上式对于足够大的n显然不可能成立。

    至此，可说明，Bertrand假设成立。

    论文的草稿部分，算是正式完工。

    而且完工的时间，比程诺预想的要早了整整一半时间。

    这样的话，还能趁热的将毕业论文的文档版给搞出来。

    搞！搞！搞！

    啪啪啪~~

    程诺手指敲击着键盘，四个多小时后，毕业论文正式完稿。

    程诺又随手做了一份PPT，毕业答辩时会用到。

    至于答辩的腹稿，程诺并没有准备这个东西。

    反正到时候兵来将挡，水来土掩就是。

    要是以哥的水平，连一个毕业答辩都过不了，那还不如直接找块豆腐撞死算了。

    哦，对了，还有一件事。

    程诺一拍脑袋，仿佛记起了什么。

    在网上搜索一阵，程诺将论文转换为英文的PDF格式，打包投给了位于德古国的一家学术期刊：《数学通讯符号》。

    SCI期刊之一，位列一区。

    影响因子5.21，即便在一区的诸多著名学术杂志中，都属于中等偏上的水平。

    ……………………

    PS：《爱情公寓》，哎~~